2.3 连续型随机变量及其概率分布

1. 连续型随机变量

1.1 定义

设 $X$ 是一随机变量，$F(X)$ 是它的分布函数，若存在一个非负可积函数 $f (x)$, 使得

$$\begin{aligned} F(x)=\int_{- \infty}^{x} f(t) \mathrm{d}t && -\infty<x<+\infty \end{aligned}$$

则称 $X$ 是连续型随机变量，$f(x)$ 是它的概率密度函数，简称为密度函数或概率密度.

• 分布函数连续
• 概率密度函数可以不唯一，允许在有限或者无穷可列个点函数值不同

1.2 几何意义：

1.3 性质：

• 非负性 $f(x) \geq 0$
• 规范性 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x = F(+\infty)=1$
• 在 $f(x)$ 的连续点处，$F'(x)=f(x)$，$P(x<X<\Delta x) \approx f(x)\Delta x$
• $P(x=a)=0$

Tips：随机变量并不只有连续型随机变量和离散型随机变量

2. 常见随机变量的分布

2.1 均匀分布

若 $X$ 的密度函数为

称 $X$ 为 $[a,b]$ 上的均匀分布，记为 $X \sim U(a,b)$

2.2 指数分布

若 $X$ 的密度函数为 则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，记为 $X \sim E(\lambda)$ 或者 $X \sim E_{xp} (\lambda)$

性质：

1. 无记忆性：$P(X>s+t|X>s)=P(X>t)$
2. Poisson 分布的联系：若某事件服从 Poisson 分布，则相邻两事件发生之间的时间服从指数分布

2.3 正态分布（Gauss 分布）

若 $X$ 的密度函数为 其中 $\mu$ 为数学期望，$\sigma^2$ 为方差，则称 $X$ 服从参数为 $\mu, \sigma^2$ 的正态分布，记为 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$

性质：

1. 图形关于 $x=\mu$ 对称
2. 曲线在 $x=\mu$ 处有最大值：$f(\mu)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$
3. 在 $x=\mu \pm \sigma$ 处有拐点
4. 曲线以 $x$ 轴为渐近线
5. 图形为单峰状

标准正态分布：

性质：

• $\Phi (0)=0.5$
• $\Phi (-x)=1-\Phi (x)$
• $P(\lvert X \rvert<x)=2\Phi(x)-1$

一般正态分布化为标准正态分布

设 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $\frac{X- \mu}{\sigma}=X^{*}\sim N(0,1)$